1. Функция плотности вероятности краш-множителей
В Provably Fair игре с маржой E множитель X — непрерывная случайная величина на носителе [1.00, +∞). Функция выживания:
P(X >= k) = (1 - E) / k для k >= 1.00
Это усечённое обратное распределение с точечной массой E в точке X = 1.00 (мгновенный краш). Функция плотности: f(x) = (1-E)/x².
2. Формальный вывод математического ожидания
EV(k) = P(X >= k) × (k-1) - P(X < k) × 1
= [(1-E)/k] × (k-1) - [1-(1-E)/k] × 1
= [(1-E)(k-1) - k + 1 - E] / k
= [-Ek] / k = -E
Переменная k полностью сокращается. При марже 3%: EV = -0.03 на единицу ставки, безусловно.
3. Декомпозиция дисперсии
| Цель k | P(Выигрыш) | Дисперсия | EV |
|---|---|---|---|
| 1.10x | 88.2% | 0.104 | -0.03 |
| 2.00x | 48.5% | 0.999 | -0.03 |
| 10.00x | 9.7% | 8.729 | -0.03 |
| 50.00x | 1.94% | 47.53 | -0.03 |
Правый столбец инвариантен. Дисперсия монотонно растёт, создавая когнитивную иллюзию: игрок 1.10x переживает длинные серии выигрышей, перемежаемых потерями; игрок 50x — длительные неудачи с редкими выплатами. Оба сходятся к -3%.
4. Критерий Келли
f* = -E / (k - 1)
Фракция Келли отрицательна для всех k > 1 при E > 0. Математически оптимальная стратегия — не ставить вообще. Никакая прогрессионная система не превратит отрицательный EV в положительный.
Исследуйте числовые следствия в нашем Калькуляторе математического ожидания.